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対数クラウニングでの最適クラウニング計算（面圧均一化の妥当性）

対数クラウニングは、面圧を均一化することができるので、長寿命を与えてくれると考えられています。しかしながら、軸受寿命は、表面下剪断応力τyzの最大値(以下「τmax」または「TAUMAX」と呼びます)の大きさとその発生深さz0によって決定され、面圧によって決定されるわけではありません。そこで、本事例では、面圧を均一化することと、τmaxを小さくすることは同値なのか、調査してみます。
調査の方法として、面圧が均一になるような対数クラウニング形状の探索（下記の目的関数�@）と、表面下剪断応力τyzの最大値を最小にするような対数クラウニング形状の探索（下記の目的関数�A）を実施し、両者を比較します。併せて、ROBPACS事例s24の最適値探索結果（k1=1.0,k2=1.0,zm=0.02）をNOCPACでも計算して、比較対象に加えます。
　　　対数クラウニングの形状については、このリンク参照-->対数クラウニング形状

＜計算内容＞
　　　　目的関数：�@接触面圧最大値の最小化 --> 均一面圧を得る
　　　　　　　　　�A表面下剪断応力τyzの最大値(TAUMAX)の最小化
　　　　ころ　　：φ12×12 （チャンファ長さ 0.5mm）対数クラウニング
　　　　軌道面　：クラウニングなし
　　　　変数　　：k1,zm（k2=1.0固定：下記「係数k2について」参照）
　　　　最適クラウニング探索手法： 修正勾配法

係数k2について
類似事例ROBPACS解析事例s24の最適値探索結果では、k1=1.0,k2=1.0,zm=0.02が得られています。この結果ではk2=1.0 即ち、直線部がない方が良いという結論です。ROBPACS事例s24では、指定領域探索法による探索であるため、最適値が完全にピークを捉えているわけではありませんが、一般的に対数クラウニングに直線部があると、部分的には対数曲線からはずれるため、均一な面圧が得られないと考えられます。このため、本事例では、k2=1.0を前提（直線部は設けない）とします。

面圧メッシュ、応力メッシュは下記の通りです。
【面圧メッシュ】　基本分割：48×60　再分割：チャンファ部位置両側0.1mmを7分割（等比級数分割）
【応力メッシュ】　ｘ方向：0.5mm均等分割+応力集中部（x=0.6と11.4）両側0.15mmを15分割（等分割）
　　　　　　　　　 y方向：0.01mm均等分割+応力集中部（y=0.22）両側0.03mmを6分割（等分割）
　　　　　　　　　 z方向：0.002mm均等分割

【最適値探索法】　指定領域探索法の後、修正勾配法（詳細下記）
・最大面圧最小化　初期値　：k1=1.4, zm=0.018
　　　　　　　　　刻み幅　：k1=0.05, zm=0.005
　　　　　　　　　計算回数：10回
・TAUMAX最小化　初期値　：k1=1.1, zm=0.013
　　　　　　　　　刻み幅　：k1=0.05, zm=0.001
　　　　　　　　　計算回数：5回

＜解析結果＞

探索の結果得られた最適値を、表１に、そのときの面圧を図２に、表面下剪断応力τyzの最大値(TAUMAX)を図３に示します。なお、「ROBPACS事例s24」と記載があるものは、上記のように、事例s24で得られた最適値（K1=1, K2=1, ZM=0.02）を用いてNOCPACで再計算したものです。

　表１　最適値探索結果


最大面圧値の比較
表１で、最大面圧値を比較すると、目的関数「最大面圧最小化」の探索結果では、一番低い面圧値が得られており、探索が妥当であることがわかります。次いで、「ROBPACS事例s24」の結果が低い値となっていますが、図２（ｃ）から、若干エッジロードが発生していることがわかります。事例s24では、ROBPACSによる計算であるため、EPC法を用いて面圧計算していますが、EPC法ではエッジ部面圧が若干小さく計算されるため、得られた最適値パラメータでは、NOCPACで計算すると、エッジ部が若干大きく計算されると考えられます。
一方、「TAUMAX最小化」の値は非常に大きな値になっており、図２（ｂ）からも大きなエッジロードが発生していることがわかります。
最大TAUMAX値の比較
次に、表１の「最大TAUMAX値」で比較すると、最大TAUMAX値が一番小さかったのは、当然のことながら、目的関数を「TAUMAX最小化」として探索したケースでした。図３では赤色で表示されていますが、τmaxの値がほぼフラットになっていることがわかります。
一方、「最大面圧最小化」は、表１で２番目に小さい値になっていますが、図３での分布（青色）はエッジ部でのτmaxの上昇はなく、中央部が膨らんだ分布となっていました。この理由は、図４から明らかにできます。
図４はＹ方向面圧分布をX=0.6（エッジ部）とX=6.0（長手方向中央部）の位置で見たものです。（ａ）ではX=0.6, X=6.0とも、Y=0の位置でほぼ同じ値を示していますが、接触幅はX=0.6は小さいことがわかります。このため、τyzの値はエッジ部で小さくなり、図３のように中央部が膨らんだ形になると考えられます。一方（ｂ）では、X=0.6のピーク値はX=6.0より若干大きくなっていますが、接触幅はX=6.0とほぼ同じか、やや少ない値になっており、τyzは、エッジ部と中央部でほぼ同じになると考えられます。
また、「最大面圧最小化」の場合、図２（ａ’）にみられるように、エッジ部の数点は面圧値が小さく、負荷を受けていないことがわかります。これは、全点で負荷を受ける場合と比べると、中央部の点が受ける負荷が大きくなるため、あまり好ましい状況ではありません。
次に、「ROBPACS事例s24」については、「最大面圧値の比較」で述べたように、ROBPACSのEPC法による面圧分布と比べてNOCPACでは、エッジ部面圧が上昇するため、図２（ｃ）のような面圧分布となり、これに伴い、τmax（図３）がエッジ部で緩く盛り上がると考えられます。

　　
　　　　　　　　　　（ａ）最大面圧最小化　　　　　　　　　　　（ａ’）最大面圧最小化（エッジ部拡大図）

　
　　　　　　　　　（ｂ）TAUMAX最小化　　　　　　　　　　　　　　　（ｃ）ROBPACS事例s24
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　図２　最適値における接触面圧


　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　図３　最適値における表面下剪断応力τyz最大値（τmax）

　
　　　　　　　　　（ａ）最大面圧最小化　　　　　　　　　　　　　　　　（ｂ）TAUMAX最小化
　　　　　　　　　　　　　図４ ｙ方向接触面圧分布（「最大面圧最小化」と「TAUMAX最小化」）



以上のように、対数クラウニングで、面圧を均一化することと、τyzの最大値（τmax）を小さくすることは同じではなく、寿命最大化のためには、図２（ｂ）のように、エッジロードが若干発生した方が、均一なτmax分布が得られると考えられます。

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【補足】
＜面圧分布の均一化手法について＞
今回、接触面圧分布の均一化の目的関数として、「最大面圧最小化」を選択しましたが、このほかの目的関数として、下記のものがあります。
　　　・面圧分散値最小化：面圧平均値（面圧0は除外）からの差の２乗（分散）
　　　・面圧差最小化　　：面圧平均値（面圧0は除外）からの差の絶対値（面圧差）
面圧分布の均一化を図るために、どの目的関数が良いのか、という課題もあり、以下で検討します。

上記２つの目的関数を用いて、探索した結果は下記のようでした。（但し、やや粗い検索です）
最適値探索結果
　　　・面圧分散値最小化：k1=1, zm=0.018
　　　・面圧差最小化　　：k1=1, zm=0.018

両者同じ結果であるため、「分散値最小化」についてのみ、最適値時の接触面圧と表面下剪断応力τyz最大値（τmax）を図５，６に示します。
　　
　　　　　　図５　面圧分散値最小化時の接触面圧　　　　　　　　図６　面圧分散値最小化時のτyz最大値

図５では、中央部はフラットですが、エッジ部で面圧が増加しています。一方、図２（ａ）の「最大面圧最小化」では、エッジ部もフラットになっていますが、エッジ部に6〜7点プロットされた点があります。これに関しては、「分散値最小化」では、エッジ部に２点あるだけで、その他のプロットはありません。「分散値最小化」（面圧平均値からの差の２乗を最小化）では、このエッジ部の点を減らすために、面圧がエッジ部で一度盛り上がって、その後ストンと落ちていると考えられます。これは「面圧差最小化」の場合も同じです。
図６では、図５のエッジ部面圧が上昇するためエッジ部でτmaxも上昇していると考えられます。

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